Les exercices types

1. Si on a, pour tout réel positif t, g = 1 f (t) , alors pour tout réel t positif, on a : Métropole, Antilles, Guyane, La Réunion 9 17 juin 2025 Baccalauréat spécialité sujet 1 A. P. M. E. P. g ′ (t) = −f ′ (t) f (t) 2 On aura alors : −0,3g(t)+0,02 = −0,3 f (t) +0,02 = −0,3+0,02f (t) f (t) Et, par ailleurs : g ′ (t) = −f ′ (t) f (t) 2 = − £ 0,02f (t)(15− f (t))¤ f (t) 2 car f est solution de (E1) = − £ 0,02(15− f (t))¤ f (t) en simplifiant par f (t) on rappelle que f ne s’annule pas sur [0 ; +∞[ = −0,3+0,02f (t) f (t) en développant = −0,3g(t)+0,02 On constate bien que g est une solution de l’équation différentielle (E2). 2. Les solutions de l’équation (E2) sont, d’après une propriété du cours, les fonctions de la forme : t 7−→Ce −0,3t + −0,02 −0,3 , où C ∈ R. C’est-à-dire, les fonctions de la forme t 7−→Ce −0,3t + 1 15 , où C ∈ R. 3. Comme on sait que f (0) = 1, on en déduit g(0) = 1 f (0) = 1. Donc g(0) = 1 ⇐⇒ Ce −0,3×0 + 1 15 = 1 ⇐⇒ C + 1 15 = 1 ⇐⇒ C = 1− 1 15 ⇐⇒ C = 14 15 La seule fonction solution de (E2) vérifiant g(0) = 1 est donc g : t 7−→ 14 15 e −0,3t + 1 15 . On en déduit donc que, pour tout t réel positif, on a : f (t) = 1 g(t) = 1 14 15 e −0,3t + 1 15 = 15 14e−0,3t +1 On arrive bien à l’expression annoncée. 4. On a : lim t→+∞ −0,3t = −∞, donc par composition, limt→+∞ e −0,3t = lim y→−∞ e y = 0 Par limite du produit et de la somme, on a alors : limt→+∞ 14e−0,3t +1 = 1. Métropole, Antilles, Guyane, La Réunion 10 17 juin 2025 Baccalauréat spécialité sujet 1 A. P. M. E. P. Finalement, par limite du quotient : limt→+∞ f (t) = lim t→+∞ 15 14e−0,3t +1 = 15. La fonction f tend vers 15 quand t tend vers +∞. Le modèle continu rejoint la conclusion du modèle discret : la posidonie tendra à occuper une surface de 15 hectares. 5. Soit t un réel positif. Résolvons : f (t) > 14 ⇐⇒ 15 14e−0,3t +1 > 14 ⇐⇒ 15 > 14(14e−0,3t +1) car 14e−0,3t +1 > 0 ⇐⇒ 15 > 196e−0,3t +14 ⇐⇒ 1 > 196e−0,3t ⇐⇒ 1 196 > e −0,3t car 196 > 0 ⇐⇒ lnµ 1 196¶ > −0,3t car ln est strictement croissante sur R + ⇐⇒ −ln(196) > −0,3t par proriété de la fonction ln ⇐⇒ ln(196) 0,3< t car −0,3 < 0 L’ensemble des solutions de l’inéquation est donc l’intervalle ¸ ln(196) 0,3 ; +∞· . Comme ln(196) 0,3 ≈ 17,6, cela signifie qu’il faudra environ 17,6 années (soit 17 ans et un peu plus de 7 mois) pour que la posidonie occupe un espace strictement supérieur à 14 hectares. Là encore, le modèle continu a des conclusions cohérentes avec celles du modèle discret.