Le mot calcul vient de 'calculus' qui signifie 'petit caillou'. Dans toute numération, il faut distinguer chiffres et nombres. Un nombre est le résultat du comptage d'un ensemble d'objets, d'animaux, de personnes... Pour écrire un nombre, on peut utiliser un ou plusieurs chiffres. Exemples : Une année comporte douze mois : douze (12) est un nombre comportant deux chiffres (1 et 2).Si l'on dénombre les jours de la semaine, 7 est un nombre qui s'écrit avec un seul chiffre (7).
*Base:
On a pris l'habitude de compter en 'paquets'. La numération moderne regroupe les éléments à dénombrer en 'paquets' de dix. On dit qu'on utilise la 'base dix'. Exemple : 2 583 = 2 x 10^3 + 5 x 10^2 + 8 x 10^1 + 3 x 10^0
Différences entre les chiffres et les nombres :
Un chiffre est un élément d'écriture. Pour dire un nombre, on n'utilise pas de chiffres. On dit le nom du nombre, que l'on peut aussi écrire « en toutes lettres ». Le nom d'un nombre peut être simple, comme « seize » ou composé, comme « dix-sept » ou « mille deux cent quatre-vingt cinq ». Le nom du nombre varie selon les langues, mais il se réfère toujours exactement à la même abstraction.
Pour effectuer des opérations sur les nombres, on a inventé des systèmes de numération qui permettent de les écrire rapidement, en chiffres. L'usage des chiffres pour l'écriture des nombres est lié à la pratique du calcul.
L'écriture d'un nombre représente un nombre, c'est-à-dire une quantité alors qu'un chiffre ne représente pas de quantité. On distingue un nombre à un chiffre du chiffre qui est un simple signe.
Les chiffres jouent un rôle similaire par rapport aux nombres que les lettres par rapport aux mots. À l'écrit, les nombres sont représentés par une juxtaposition de chiffres, de même que les mots sont représentés par une juxtaposition de lettres. Ainsi, 13 (« treize ») est un nombre qui, en base 10, s'écrit avec les chiffres « 1 » et « 3 ». De même qu'un mot peut être constitué d'une seule lettre, tel le mot « a » (verbe « avoir » conjugué à la troisième personne du singulier au présent de l'indicatif), un chiffre seul peut représenter un nombre. Par exemple, en base 10 toujours, le nombre 4 (« quatre ») s'écrit avec uniquement le chiffre 4. Par contre, les arrangements de lettres ne forment pas forcément un mot, alors que dans les systèmes de numération positionnelle, toute suite de chiffres peut s'interpréter valablement comme un nombre entier.
L'écriture en chiffres ne peut représenter que des nombres entiers. Dans les nombres décimaux, un signe de ponctuation, la virgule, sépare le nombre d'unités, à gauche, du nombre de fractions décimales, à droite. Certains nombres ne peuvent se représenter que par une formule (« 1/3 » pour un tiers, « √2 » pour la racine carrée de deux), par un symbole particulier (« π » pour le nombre Pi), ou par un signe convenu qui désigne une variable (« x », « maVariable »).
Evolution des nombres :
*-35 000/-20 000 :
Apparition des premiers os entaillés de la préhistoire ayant un concept numérique. On sait que le plus ancien procédé de comptage est la "pratique de l'entaille" : les hommes préhistoriques entaillaient des os, des bois de renne, des bâtons à l'aide d'un couteau de pierre pour dénombrer. Des os entaillés vieux de plus de 20 000 ans ont été retrouvés dont certains en France . Personne ne sait encore si ces os étaient des messages arithmétiques , des objets religieux , des tableaux de chasse , des calendriers.
*- IXe siècle / - VIe siècle :
Utilisation de petits jetons d'argile de tailles et de formes géométriques différentes (cônes , disques , sphères , billes , bâtonnets...), notamment en Mésopotamie, pour le dénombrement.
*- 3.000 / -2.000 :apparition de la numération égyptienne hiéroglyphique ( utilisée sur les monuments )
*- 2.700 :apparition des deux caractères sur les tablettes d'argile sumérienne.
*- 1.900 / - 1.800 :apparition de la base 60 des Babyloniens . Le zéro n'existe pas et l'écriture des nombres prête souvent à confusion.
*Fin du -XIVe siècle :apparition des plus anciens chiffres chinois connus.
*- IV siècle : diffusion de la numération grecque
*- III siècle : apparition de premier zéro connu de l'histoire chez les Babyloniens .
*- II siècle : invention du papier par les Chinois.
*IV / VI siècle : naissance de la numération moderne et naissance de notre calcul écrit actuel.
*IV / IX siècle :apparition de la numération de position de base 20 ainsi que du zéro chez les prêtres astronomes de la civilisation Maya.
*595 : date du plus ancien document indien connu attestant de l'usage des 9 chiffres selon le principe de position.
*Fin du VIII siècle : introduction de la numération positionnelle et du zéro en Islam .
*Milieu du XI siècle : Les Chinois inventent l'imprimerie.
*XII siècle : introduction du signe zéro d'origine indienne en Europe occidentale; les chiffres arabes commencent à se stabiliser graphiquement.
* XII / XV siècle : les chiffres arabes se stabilisent graphiquement pour donner naissance à la forme définitive qu'ils ont actuellement en Europe.
Mais il existe encore des civilisations qui ne connaissent pas les nombres (les Zoulous, les Pygmées d'Afrique par exemple).
Chiffres indo-arabes :
Les chiffres arabes font partie des écritures de type logographique, c'est-à-dire que le symbole « 1 » se prononce de façon différente dans chaque langue, mais représente le même élément abstrait et reste donc compréhensible sous sa forme écrite.
Ces chiffres doivent leur nom au fait qu'ils proviennent des Arabes. L'ouvrage d'Al-Khawarizmi Traité du système de numération des Indiens (rendu accessible aux lettrés non-arabisants par ses traductions en latin, dont De numero indorum) laisse penser qu'ils seraient originaires d'Inde. Le zéro (représenté par un point) était utilisé comme marqueur de position vide par les astronomes babyloniens, mais ceux-ci n'avaient pas fait la démarche de le considérer comme chiffre à part entière.
Le concept du zéro, en tant que symbole numérique à parité avec les autres, qu'élément neutre de l'addition et élément absorbant de la multiplication, est en revanche présent dans les textes mathématiques indiens, en particulier l'analyse du problème de l'échiquier et des grains de blé.
Les chiffres de 1 à 9 ont été inventés en Inde. Ils apparaissent dans des inscriptions de Nana Ghât au iiie siècle av. J.-C. La numération de position avec un zéro (un simple point à l'origine), a été développée au cours du ve siècle. Dans un traité de cosmologie en sanskrit de 458, on voit apparaître le nombre 14 236 713 écrit en toutes lettres. On y trouve aussi le mot « sunya » (le vide), qui représente le zéro. C'est à ce jour le document le plus ancien faisant référence à cette numération.
Au Xe siècle, le moine occitan Gerbert d'Aurillac s'initie à la nouvelle numération et, grâce aux chaires qu'il occupe dans divers établissements religieux d'Europe, commence à le faire connaître aux lettrés d'Occident. Élu pape en 999 sous le nom de Sylvestre II, il en retire l'autorité nécessaire pour faire adopter à la chrétienté la numération indo-arabe malgré la réticence du milieu des clercs, utilisant pour leur part l'abaque, et qui voient cette simplification menacer une partie de leur métier.
Les dix chiffres indiens ont été adoptés dans le monde arabo-musulman, puis dans le monde chrétien. De nos jours, on écrit ces chiffres ainsi :
- Au Moyen-Orient : ٠, ١, ٢, ٣, ٤, ٥, ٦, ٧, ٨ et ٩
- Au Maghreb et en Occident : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9
Premiers systèmes de comptage :
Dans certaines civilisations , les doigts des mains représentaient les nombres de 1 à 10 ; les doigts des pieds les nombres de 11 à 20 ; les autres parties du corps servaient aussi à compter plus loin. Les hommes ont commencé à compter avec les doigts avant d'utiliser des signes pour représenter des nombres. Mais comment retenir les nombres ? Plus tard , ils utiliseront des cailloux... Le plus ancien système de numération de l'humanité est le système unaire, qui n'utilise qu'un seul chiffre, en forme de bâton, se répétant autant de fois que nécessaire pour représenter un nombre (exemple des os d'Ishango, découverts en République démocratique du Congo et dont les inscriptions dateraient d'il y a 20 000 ans).Ce système est encore en usage de nos jours dans des opérations de dénombrement. En France, le dépouillement des bulletins de vote se fait ainsi en ajoutant une barre dans la ligne du candidat dont le scrutateur lit le nom sur le bulletin de vote. Pour faciliter les décomptage final, on groupe les barres par cinq.
Ce système a notamment donné naissance à de nombreux systèmes additifs, certains groupes de chiffres ayant été remplacés par de nouveaux signes afin de rendre les nombres plus lisibles. Aussi, divers systèmes additifs ont été utilisés au cours de l'Antiquité, comme celui de la numération romaine. Le système romain de numération est une extension de l'habitude romaine des abréviations pour les inscriptions. L'écriture représente le nom du nombre tel qu'il se prononce. Avec les conquêtes romaines, les chiffres romains se sont alors répandus dans une large partie de l'Europe. Ils étaient ensuite communs au Moyen Âge, et leur usage perdure aujourd'hui, puisqu'ils sont couramment employés pour noter les siècles, pour la numérotation des titres de sections des textes, et pour représenter les heures en horlogerie et sur les cadrans solaires.
Numération Babylonienne:
Elle est apparue vers 1800 avant JC. Les Babyloniens (de 5.000 ans avant JC jusqu'au début de notre ère) écrivaient les nombres en base 60. Nous utilisons enc or e la bas e 60 pour l'heure.
(1h = 60 min ; 1 min = 60 s ) et les angles (un angle plat = 18° = 3 × 60 )
La numération babylonienne est une numération additive de 1 à 59 , elle est de position au-delà : selon leur position dans le nombre, les signes désignent soit les unités , soit des group es
de 60 unités , ou encore des groupes de 60 × 60 unités... Il n'existe pas de virgule, c'est le contexte qui donne l'ordre de grandeur d'un nombre. Le zéro n'existe pas non plus.
Ainsi, pour écrire un nombre en écriture babylonienne, il faut le décomposer en une somme de multiples de : 1 ; 60 ; 60 ×60 ( = 3600 ) ; 60 × 60 × 60...
Il existe deux symboles chez les babyloniens pour écrire les nombres :
pour désigner le 1 et pour désigner le 10.
Exemples : Décomposons le nombre 5112 en une somme de multiples de 1 ; 60 ; 3600
Cela revient en fait à convertir 5112s en heures, minutes et secondes.
1 5 1 2 ÷ 60 = 25 , ... écri v o n s la divisi o n euclidi e nn e : 1 5 1 2 = 25 × 60 + 1 2
et don c 5 1 1 2 = (36 0 0 × 1 )+ ( 25 × 60 ) + 12 × 1
noté [ 1 ; 25 ; 1 2 ] et on le lit : 1 2 unités ; 25 group es de 60 ; 1 group e de 60 ×60
Ainsi , le no m b r e 5 1 1 2 s'écri vait :
2°) 3.600 : 3°) 60 : 4°) 61 : 5°) 3601 :
Vous constaterez donc que deux nombres différents peuvent être représentés par un même nombre. D'où de nombreuses erreurs de lecture. En général, c'était le contexte dans lequel était écrit le nombre qui permettait de savoir quel était le nombre représenté.
Le zéro n'existait pas : il était signalé par un espace.
Numération Egyptienne :
Les Égyptiens de l'Antiquité utilisaient un système de numération décimal, mais dans lequel zéro n'existait pas. Chaque ordre de grandeur (unités, dizaines, centaines, etc.) possédait un signe répété le nombre de fois nécessaire. Autrement dit, il s'agit d'un système additif et non pas d'un système de position.
Les deux derniers signes du têtard et du dieu Heh peuvent également être utilisés pour signifier "un grand nombre" sans notion quantitative spécifique.
Numération Grecque :
Dans l'Antiquité, l'usage était de surligner les lettres utilisées avec une valeur numérale afin de les distinguer du reste du texte. Avec l'arrivée de l'imprimerie, en raison de contraintes typographiques, le surlignement s'est mué en un signe unique placé à droite des lettres numériques et ressemblant à un accent aigu. Ce signe, nommé en grec κεραία keréa (corne) — κεραῖα keraĩa en grec ancien — ou parfois aussi désigné « apex3 », est codé indépendamment par Unicode avec le point de code U+0374, « signe numéral grec » (équivalent au symbole prime avec le point de code U+02B9) pour keréa et avec le point de code U+0375, « signe numéral grec souscrit », pour aristerí keréa. De nombreux éditeurs ont confondu la κεραία avec l'accent aigu ou l'apostrophe, ce qui est sémantiquement incorrect.
Ainsi, le nombre 11 s’écrivait ιαʹ, avec la keréa. Pour les nombres supérieurs à 999, la keréa est remplacée par un autre caractère se plaçant à gauche, l’αριστερή κεραία (aristerí keréa) (corne placée à gauche) : ͵. Les deux keréas sont parfois employées conjointement.
Enfin, la lettre ϛ n'étant plus utilisée aujourd'hui, le chiffre 6 correspondant est noté par le digramme στ’ (ou plus souvent par la lettre ς avec laquelle ϛ se confond facilement, notamment dans les anciennes écritures onciales médiévales).
Pour signifier un nombre ordinal ou un dénominateur de fraction, on ajoutait en exposant la désinence du mot tel qu'il aurait été écrit en toutes lettres. Le dixième (Τὸ δέκατον) s'écrivait Τὸ ῑον.
Outre la myriade (M') représentant dix mille (10 000), on utilisait aussi la myriade de myriades (MM') pour représenter cent millions (100 000 000). Diverses méthodes ont été proposées pour noter les grands nombres, notamment par Aristarque de Samos, Diophante d'Alexandrie et Apollonios de Perga. Ce dernier notait au moyen d'un symbole les diverses « classes » de myriades, dont chacune était un multiple de la précédente : en cinq ou six lettres, il était ainsi possible de noter des chiffres qui, dans notre système, seraient suivis de douzaines de zéros.
Dans l'Arénaire, Archimède proposa une méthode encore plus élaborée et proche de notre notation scientifique moderne pour nommer des nombres aussi grands que celui des grains de sable sur une plage, ou des grains de sable nécessaires pour remplir tout l'univers alors connu.
*Le Zéro
Les astronomes grecs étendirent le système alphabétique à un système sexagésimal en limitant chaque position à 50 + 9 et en créant un symbole spécial pour le zéro, qui était généralement utilisé isolément comme notre symbole moderne, plutôt que comme marqueur positionnel6. Cependant, contrairement à l'exemple reproduit ci-contre où aucune ambiguïté n'est possible, le symbole n'était généralement utilisé que pour la représentation de la partie fractionnaire des nombres (sous le nom de minutes (d'angle ou d'arc), secondes, etc.) et non pour la partie entière, sous peine d'être confondu avec le omicron de valeur 70. Le système qui consiste à diviser le cercle en 360 degrés, eux-mêmes divisés en minutes, secondes, tierces etc., et l'usage du zéro pour indiquer une valeur nulle furent probablement adaptés de la méthode babylonienne par Hipparque vers -140. Ces méthodes de notation furent ensuite utilisées notamment par Ptolémée (vers 140), Théon d'Alexandrie (vers 380), et la fille de Théon, Hypatie (morte en 415).
On suppose que le symbole utilisé pour zéro est issu de l'initiale de οὐδέν (rien), puisque le mot est parfois écrit en entier ou abrégé en οὐδ dans les tables et les textes astronomiques, surtout pour la partie entière des angles. Cependant cette hypothèse est contestée7. En effet, ces notations οὐδέν et οὐδ ne se rencontrent que dans des manuscrits relativement tardifs. Dans les papyri les plus anciens, il revêt la forme d'un très petit cercle surmonté d'une longue barre, symbole qui, selon Neugebauer, proviendrait d'une notation babylonienne en cunéiforme. Il devint ensuite un omicron surmonté d'un macron moderne (ō), et finalement un simple omicron (ο).
α = 1
β = 2
γ = 3
δ = 4
ε = 5
ς = 6
ζ = 7
η = 8
θ = 9
ι = 10
κ = 20
λ = 30
μ = 40
ν = 50
ξ = 60
ο = 70
π = 80
= 90
ρ = 100
σ = 200
τ = 300
υ = 400
φ = 500
χ = 600
ψ = 700
ω = 800
= 900
Numération Romaine :
*Origine
Contrairement à une idée reçue, les chiffres romains ne sont pas des acronymes mais, comme l'attestent les chiffres d’autres langues et écritures de peuples italiques, des symboles bien précis ensuite confondus avec des lettres. Ainsi, en numération étrusque, qui a constitué l'un des apports des Étrusques aux Romains avec l’alphabet, on trouve des signes ressemblant à I, Λ, X et 8 pour I, V, X et C.
La critique moderne reconnaît que la numération romaine est une survivance d'une pratique antérieure à l'invention de l'écriture (et donc, à strictement parler, préhistorique) que l'on retrouve dans de nombreuses civilisations2. Ces chiffres seraient liés à la nécessité de faire figurer des repères sur un support, par exemple un bâton : un berger qui veut compter ses bêtes sans savoir énumérer prend simplement un bâton de comptage sur lequel figurent des encoches, fait passer son troupeau devant lui, et décale son ongle d'une encoche à chaque fois qu'une bête passe devant lui ; la dernière des marques de dénombrement correspond au nombre de bêtes. Avec ce système, les premiers chiffres sont toujours des encoches simples, ultérieurement transcrites par des « I », pas nécessairement placés verticalement l(es) un(s) à la suite de(s/l') autre(s), sinon parfois superposés horizontalement .
Le repérage devient malaisé dès que le nombre d’encoches dépasse une poignée, parce que IIIIIIII est naturellement plus difficile à lire que VIII. Le berger peut naturellement être conduit à intercaler des encoches de formes différentes servant de repères visuels :
Le repère « cinq » peut être une encoche plus longue, une encoche en biais ou, pour mieux le différencier des encoches simples, un repère en forme d'encoche double (comme V ou Λ) ; on peut d'ailleurs entendre parfois que le symbole "V" pour "5" aurait correspondu initialement au pictogramme représentant une main humaine ouverte le plus largement, avec les 5 doigts le plus écartés possible, pour représenter justement la quantité cinq, mais dont on n'aurait gardé que les deux doigts tendus "extrêmes", d'où cette forme assez proche de notre actuelle lettre "V" ;
le repère « dix » est pratiquement toujours une encoche en croix (comme X ou +), et là encore le X aurait pu correspondre aux origines à deux V (5) placés l'un au-dessus de l'autre de manière inversée, voire à un signe "+" légèrement "renversé" de côté, qui se seraient évidemment vite confondus avec la lettre "X" ;
les repères ultérieurs ont des formes plus élaborées, à trois encoches : 50 correspond à « V plus une encoche », ce qui produit des formes en N, Z ou E, et cent correspond à « X plus une encoche », donnant des formes en étoile, comme Ж ; ces formes évoluent ensuite vers des formes à deux traits, en L pour cinquante et en C pour cent.
Représentation simplifiée de l'évolution du signe 50
Symbole en V barré verticalement. → Symbole en flèche vers le bas. → Symbole en flèche vers le bas à pointe arrondie. → Symbole ⊥, en T inversé (ou en taquet vers le haut). → Symbole en L.
Avec un bâton marqué, le berger repère assez facilement l'encoche sur laquelle s'est arrêté son décompte : par exemple, s'il a treize bêtes, son ongle s'arrête sur la troisième encoche après la première dizaine, ce qui se retranscrit en XIII ; s'il en a vingt-neuf, son ongle est à une encoche avant la troisième dizaine, ce qui se note XXIX ; s'il en a cinquante-neuf, son doigt a passé la première cinquantaine et se trouve à une encoche avant la dizaine suivante, soit LIX. Ce repérage primitif peut mener à des écritures atypiques : par exemple, un cran avant la dizaine avant cinquante se noterait IXL (pour trente-neuf). Il est régularisé par la suite, pour former le système connu de nos jours.
= 90
= 900