TP : les suites

Extrait du bac S 2015 au Liban

Un fumeur décide d’arrêter de fumer. On choisit d’utiliser la modélisation suivante :

s’il ne fume pas un jour donné, il ne fume pas le jour suivant avec une probabilité de 0,9 ;
s’il fume un jour donné, il fume le jour suivant avec une probabilité de 0,6.

On appelle pn la probabilité de ne pas fumer le n-ième jour après sa décision d’arrêter de fumer et qn, la probabilité de fumer le n-ième jour après sa décision d’arrêter de fumer. On suppose que p₀= 0 et q₀ = 1.

On admet que l'on peut calcul les termes des suites(p_n) et (q_n) avec les égalités :

p₀=0 ;
q₀=1 ;
et pour tout entier naturel supérieur à 0 par : $\begin{cases}p_{n+1}=0,9p_n+0,4q_n, \\q_{n+1}=0,1p_n+0,6q_n\end{cases}$

Modélisation

1 On considère la fonction suivante :

def fume(n):
	p=0
	q=1
	for k in range(n):
		p,q=0.9*p+0.4*q , 0.1*p+0.6*q
	return q

a. Explique la ligne 5.

b. Que retourne la fonction fume ?

2 Ecrire une fonction ne_fume_pas qui retourne la probabilité que le fumeur ne fume plus le jour n.

3 Quelle est la probabilité que le fumeur ne fume plus au bout de 10 jours ? 20 jours ? et 30 jours ?

Etude de la suite pn

1 Ecrire une fonction qui affiche les n premiers de la suite p_n.

2 Voici le code qui affiche les 20 premiers de la suite p_n avec le module turtle.

from turtle import *
def ne_fume_pas(n):
	#votre code pour la fonction

for n in range(20):
	goto(10*n,100*ne_fume_pas(n))

a. Explique le role de 10 et 100 dans la ligne 6.

b. Conjecture la variation de la suite (p_n)..

3 Donner une relation entre p_n et q_n. En déduire que p_n+1=0,5p_n+0,4.

4On pose u_n=p_n-0,8 .

a. Ecrire un algorithme qui affiche les 20 premiers de la suite (u_n)

b. Voici un algorithme, à quelle conjecture sur la suite (u_n) répond-il ?

for a in range(20):
	print (ne_fume_pas(a+1)-0.8)/(ne_fume_pas(a)-0.8)

c. Démontrer cette conjecture

3 Ecrire un algorithme qui donne le nombre de jours à partir duquel le fumeur aura une probabilité supérieur à 79,9999% d'arrêter de fumer.